Algèbre linéaire Exemples

Problèmes fréquents
Algèbre linéaire
Trouver l'équation caractéristique [[40,-84,0],[18,-38,0],[36,-72,-2]]
[40-84018-38036-72-2]⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦
Étape 1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique p(λ)p(λ).
p(λ)=déterminant(A-λI3)p(λ)=déterminant(A−λI3)
Étape 2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille 33 est la matrice carrée 3×33×3 avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
Étape 3
Remplacez les valeurs connues dans p(λ)=déterminant(A-λI3)p(λ)=déterminant(A−λI3).
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Étape 3.1
Remplacez AA par [40-84018-38036-72-2]⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]-λI3)p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦−λI3⎞⎟⎠
Étape 3.2
Remplacez I3I3 par [100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]-λ[100010001])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]-λ[100010001])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦−λ⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4
Simplifiez
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Étape 4.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 4.1.1
Multipliez -λ−λ par chaque élément de la matrice.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
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Étape 4.1.2.1
Multipliez -1−1 par 11.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.2
Multipliez -λ⋅0−λ⋅0.
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Étape 4.1.2.2.1
Multipliez 00 par -1−1.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.2.2
Multipliez 00 par λλ.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.3
Multipliez -λ⋅0−λ⋅0.
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Étape 4.1.2.3.1
Multipliez 00 par -1−1.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00λ−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.3.2
Multipliez 00 par λλ.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ00−λ⋅0−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.4
Multipliez -λ⋅0−λ⋅0.
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Étape 4.1.2.4.1
Multipliez 00 par -1−1.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000λ−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.4.2
Multipliez 00 par λλ.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.5
Multipliez -1−1 par 11.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.6
Multipliez -λ⋅0−λ⋅0.
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Étape 4.1.2.6.1
Multipliez 00 par -1−1.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.6.2
Multipliez 00 par λλ.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ0−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.7
Multipliez -λ⋅0−λ⋅0.
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Étape 4.1.2.7.1
Multipliez 00 par -1−1.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00λ−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.7.2
Multipliez 00 par λλ.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ00−λ⋅0−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.8
Multipliez -λ⋅0−λ⋅0.
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Étape 4.1.2.8.1
Multipliez 00 par -1−1.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000λ−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.8.2
Multipliez 00 par λλ.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000-λ⋅1])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⋅1⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Étape 4.1.2.9
Multipliez -1−1 par 11.
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000-λ])p(λ)=déterminant⎛⎜⎝⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦+⎡⎢⎣−λ000−λ000−λ⎤⎥⎦⎞⎟⎠
p(λ)=déterminant([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000-λ])
Étape 4.2
Additionnez les éléments correspondants.
p(λ)=déterminant[40-λ-84+00+018+0-38-λ0+036+0-72+0-2-λ]
Étape 4.3
Simplify each element.
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Étape 4.3.1
Additionnez -84 et 0.
p(λ)=déterminant[40-λ-840+018+0-38-λ0+036+0-72+0-2-λ]
Étape 4.3.2
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[40-λ-84018+0-38-λ0+036+0-72+0-2-λ]
Étape 4.3.3
Additionnez 18 et 0.
p(λ)=déterminant[40-λ-84018-38-λ0+036+0-72+0-2-λ]
Étape 4.3.4
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=déterminant[40-λ-84018-38-λ036+0-72+0-2-λ]
Étape 4.3.5
Additionnez 36 et 0.
p(λ)=déterminant[40-λ-84018-38-λ036-72+0-2-λ]
Étape 4.3.6
Additionnez -72 et 0.
p(λ)=déterminant[40-λ-84018-38-λ036-72-2-λ]
p(λ)=déterminant[40-λ-84018-38-λ036-72-2-λ]
p(λ)=déterminant[40-λ-84018-38-λ036-72-2-λ]
Étape 5
Find the determinant.
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Étape 5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in column 3 by its cofactor and add.
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Étape 5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
Étape 5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
Étape 5.1.3
The minor for a13 is the determinant with row 1 and column 3 deleted.
|18-38-λ36-72|
Étape 5.1.4
Multiply element a13 by its cofactor.
0|18-38-λ36-72|
Étape 5.1.5
The minor for a23 is the determinant with row 2 and column 3 deleted.
|40-λ-8436-72|
Étape 5.1.6
Multiply element a23 by its cofactor.
0|40-λ-8436-72|
Étape 5.1.7
The minor for a33 is the determinant with row 3 and column 3 deleted.
|40-λ-8418-38-λ|
Étape 5.1.8
Multiply element a33 by its cofactor.
(-2-λ)|40-λ-8418-38-λ|
Étape 5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=0|18-38-λ36-72|+0|40-λ-8436-72|+(-2-λ)|40-λ-8418-38-λ|
p(λ)=0|18-38-λ36-72|+0|40-λ-8436-72|+(-2-λ)|40-λ-8418-38-λ|
Étape 5.2
Multipliez 0 par |18-38-λ36-72|.
p(λ)=0+0|40-λ-8436-72|+(-2-λ)|40-λ-8418-38-λ|
Étape 5.3
Multipliez 0 par |40-λ-8436-72|.
p(λ)=0+0+(-2-λ)|40-λ-8418-38-λ|
Étape 5.4
Évaluez |40-λ-8418-38-λ|.
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Étape 5.4.1
Le déterminant d’une matrice 2×2 peut être déterminé en utilisant la formule |abcd|=ad-cb.
p(λ)=0+0+(-2-λ)((40-λ)(-38-λ)-18⋅-84)
Étape 5.4.2
Simplifiez le déterminant.
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Étape 5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 5.4.2.1.1
Développez (40-λ)(-38-λ) à l’aide de la méthode FOIL.
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Étape 5.4.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(40(-38-λ)-λ(-38-λ)-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(40⋅-38+40(-λ)-λ(-38-λ)-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(40⋅-38+40(-λ)-λ⋅-38-λ(-λ)-18⋅-84)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(40⋅-38+40(-λ)-λ⋅-38-λ(-λ)-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
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Étape 5.4.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 5.4.2.1.2.1.1
Multipliez 40 par -38.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520+40(-λ)-λ⋅-38-λ(-λ)-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.2.1.2
Multipliez -1 par 40.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ-λ⋅-38-λ(-λ)-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.2.1.3
Multipliez -38 par -1.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ-λ(-λ)-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ-1⋅-1λ⋅λ-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.2.1.5
Multipliez λ par λ en additionnant les exposants.
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Étape 5.4.2.1.2.1.5.1
Déplacez λ.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ-1⋅-1(λ⋅λ)-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.2.1.5.2
Multipliez λ par λ.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ-1⋅-1λ2-18⋅-84)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ-1⋅-1λ2-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.2.1.6
Multipliez -1 par -1.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ+1λ2-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.2.1.7
Multipliez λ2 par 1.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ+λ2-18⋅-84)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ+λ2-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.2.2
Additionnez -40λ et 38λ.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-2λ+λ2-18⋅-84)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-2λ+λ2-18⋅-84)
Étape 5.4.2.1.3
Multipliez -18 par -84.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-2λ+λ2+1512)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-2λ+λ2+1512)
Étape 5.4.2.2
Additionnez -1520 et 1512.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-2λ+λ2-8)
Étape 5.4.2.3
Remettez dans l’ordre -2λ et λ2.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(λ2-2λ-8)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(λ2-2λ-8)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(λ2-2λ-8)
Étape 5.5
Simplifiez le déterminant.
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Étape 5.5.1
Associez les termes opposés dans 0+0+(-2-λ)(λ2-2λ-8).
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Étape 5.5.1.1
Additionnez 0 et 0.
p(λ)=0+(-2-λ)(λ2-2λ-8)
Étape 5.5.1.2
Additionnez 0 et (-2-λ)(λ2-2λ-8).
p(λ)=(-2-λ)(λ2-2λ-8)
p(λ)=(-2-λ)(λ2-2λ-8)
Étape 5.5.2
Développez (-2-λ)(λ2-2λ-8) en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
p(λ)=-2λ2-2(-2λ)-2⋅-8-λ⋅λ2-λ(-2λ)-λ⋅-8
Étape 5.5.3
Simplifiez chaque terme.
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Étape 5.5.3.1
Multipliez -2 par -2.
p(λ)=-2λ2+4λ-2⋅-8-λ⋅λ2-λ(-2λ)-λ⋅-8
Étape 5.5.3.2
Multipliez -2 par -8.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ⋅λ2-λ(-2λ)-λ⋅-8
Étape 5.5.3.3
Multipliez λ par λ2 en additionnant les exposants.
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Étape 5.5.3.3.1
Déplacez λ2.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-(λ2λ)-λ(-2λ)-λ⋅-8
Étape 5.5.3.3.2
Multipliez λ2 par λ.
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Étape 5.5.3.3.2.1
Élevez λ à la puissance 1.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-(λ2λ1)-λ(-2λ)-λ⋅-8
Étape 5.5.3.3.2.2
Utilisez la règle de puissance aman=am+n pour associer des exposants.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ2+1-λ(-2λ)-λ⋅-8
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ2+1-λ(-2λ)-λ⋅-8
Étape 5.5.3.3.3
Additionnez 2 et 1.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-λ(-2λ)-λ⋅-8
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-λ(-2λ)-λ⋅-8
Étape 5.5.3.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-1⋅-2λ⋅λ-λ⋅-8
Étape 5.5.3.5
Multipliez λ par λ en additionnant les exposants.
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Étape 5.5.3.5.1
Déplacez λ.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-1⋅-2(λ⋅λ)-λ⋅-8
Étape 5.5.3.5.2
Multipliez λ par λ.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-1⋅-2λ2-λ⋅-8
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-1⋅-2λ2-λ⋅-8
Étape 5.5.3.6
Multipliez -1 par -2.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3+2λ2-λ⋅-8
Étape 5.5.3.7
Multipliez -8 par -1.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3+2λ2+8λ
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3+2λ2+8λ
Étape 5.5.4
Associez les termes opposés dans -2λ2+4λ+16-λ3+2λ2+8λ.
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Étape 5.5.4.1
Additionnez -2λ2 et 2λ2.
p(λ)=4λ+16-λ3+0+8λ
Étape 5.5.4.2
Additionnez 4λ+16-λ3 et 0.
p(λ)=4λ+16-λ3+8λ
p(λ)=4λ+16-λ3+8λ
Étape 5.5.5
Additionnez 4λ et 8λ.
p(λ)=12λ+16-λ3
Étape 5.5.6
Déplacez 16.
p(λ)=12λ-λ3+16
Étape 5.5.7
Remettez dans l’ordre 12λ et -λ3.
p(λ)=-λ3+12λ+16
p(λ)=-λ3+12λ+16
p(λ)=-λ3+12λ+16
 [x2  12  √π  ∫xdx ]